概率

定义

古典定义: 试验只有有限个等可能性的基本结果. $P(A)=\frac{m}{n}$
频率定义:
统计定义:
公理化定义: 非负性, 规范性, 可列可加性

事件

• 随机事件
• 必然事件 $P(\Omega) = 1$
• 不可能事件 $P(\emptyset) = 0$
• 对立事件(补事件) $A \cup \overline{A} = \Omega$ 且 $A \cap \overline{A} = \emptyset$, $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$
• 互斥事件 $A \cap B = \emptyset$, $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
• 独立事件 $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$, $P(A \mid B) = P(A)$ 或 $P(B \mid A) = P(B)$
• 条件事件 $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad \text{其中 } P(B) > 0$

概型

离散型概率分布

描述取值为离散随机变量的概率分布.

• 古典分布(离散均匀分布)
• 伯努利分布(Bernoulli Distribution)
• 二项分布(Binomial Distribution)
• 几何分布(Geometric Distribution)
• 负二项分布(Negative Binomial Distribution)
• 泊松分布(Poisson Distribution)
• 超几何分布(Hypergeometric Distribution)
• 多项分布(Multinomial Distribution)

连续型概率分布

描述取值为连续随机变量的概率分布.

• 均匀分布(Uniform Distribution)
• 正态分布(Normal Distribution)
• 指数分布(Exponential Distribution)
• 伽马分布(Gamma Distribution)
• 贝塔分布(Beta Distribution)
• 对数正态分布(Log-Normal Distribution)
• 威布尔分布(Weibull Distribution)
• 柯西分布(Cauchy Distribution)
• 拉普拉斯分布(Laplace Distribution)
• 帕累托分布(Pareto Distribution)

多维概率分布

描述多个随机变量的联合分布.

• 多项分布(Multinomial Distribution)
• 狄利克雷分布(Dirichlet Distribution)
• 多元正态分布(Multivariate Normal Distribution)

统计推断中的抽样分布

用于统计推断和假设检验的分布.

• 卡方分布(Chi-Square Distribution)
• t分布(Student's t-Distribution)
• F分布(F-Distribution)

重尾分布

尾部概率衰减较慢,适合描述极端事件.

• 柯西分布(Cauchy Distribution)
• 帕累托分布(Pareto Distribution)

时间或空间相关分布

描述与时间或空间相关的随机现象.

• 泊松分布(Poisson Distribution)
• 指数分布(Exponential Distribution)
• 伽马分布(Gamma Distribution)
• 威布尔分布(Weibull Distribution)

贝叶斯统计中的分布

常用于贝叶斯统计中的先验或后验分布.

• 贝塔分布(Beta Distribution)
• 狄利克雷分布(Dirichlet Distribution)
• 伽马分布(Gamma Distribution)

特殊用途分布

用于特定领域或问题的分布.

• 对数正态分布(Log-Normal Distribution)(金融、生物学)
• 威布尔分布(Weibull Distribution)(可靠性工程)
• 拉普拉斯分布(Laplace Distribution)(信号处理)
• 超几何分布(Hypergeometric Distribution)(质量控制)