函数

分类

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• 任意
  • 广义
    • 可测
      • 连续: 在其定义域内没有间断点的函数
        • 光滑: 在其定义域内无限次可导的函数
          • 解析: 在其定义域内的每一点都可以展开为收敛的幂级数的函数
            • 代数: 由多项式通过有限次代数运算(加、减、乘、除、开方)得到的函数
              • 多项式
              • 有理
              • 根式
            • 指数
            • 对数
            • 三角、反三角
            • 双曲、反双曲
            • 通过幂级数展开定义的函数、特殊函数

初等函数

基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的函数复合所构成并可以用一个解析式表出的函数,称为初等函数.

幂函数

$f(x) = x^a$

• $a < 0$: 在 $(0, +\infty)$ 单调递减. 都经过点 (1,1)
  • 整数, 比如 $x^{-2}$, $x^{-3}$. 定义域 R/0, 值域 R/0. a 的奇偶决定函数奇偶
  • 分数, 比如 $x^{-\frac{1}{2}}$, $x^{-\frac{1}{3}}$. 定义域、值域分别取决于分母、分子的奇偶性
• $a > 0$: 在 $(0, +\infty)$ 单调递增. $0 < a < 1$ 越增越慢, 图像上凸(横抛); $a > 1$ 越增越快, 图像下凹(竖抛). 都经过点 (0,0) (1,1)
  • 整数, 比如 $x^2$, $x^3$. 定义域 R, 值域 R. a 的奇偶决定函数奇偶
  • 分数, 比如 $x^{\frac{1}{2}}$, $x^{\frac{1}{3}}$. 定义域、值域分别取决于分母、分子的奇偶性

$\frac{d}{dx} [x^n] = n x^{n-1}$

$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$

指数函数

$f(x) = a^x$, 其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$. 定义域 $\mathbb{R}$, 值域 $(0, +\infty)$

• $0 < a < 1$, 单调递减
• $a > 1$, 单调递增
• $f(0) = a^0 = 1$

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

$\frac{d}{dx} [e^x] = e^x$
$\frac{d}{dx} [a^x] = a^x \ln a$

$\int e^x \, dx = e^x + C$
$\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$

对数函数

$f(x) = \log_a x$, 其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$. 定义域 $(0, +\infty)$, 值域 $\mathbb{R}$

• $0 < a < 1$, 单调递减
• $a > 1$, 单调递增
• $f(1) = \log_a 1 = 0$
• $f(a) = \log_a a = 1$

$\ln(x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{(x-1)^n}{n} = (x-1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \cdots$

$\frac{d}{dx} [\ln x] = \frac{1}{x}$
$\frac{d}{dx} [\log_a x] = \frac{1}{x \ln a}$

$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C$

三角函数

• 正弦 $f(x) = \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$. 定义域 R, 值域 $[-1, 1]$
• 余弦 $f(x) = \cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$. 定义域 R, 值域 $[-1, 1]$
• 正切 $f(x) = \tan(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \cdots$. 定义域 $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$, 值域 R
• 余切 $f(x) = \cot x$. 定义域 $x \neq k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$, 值域 R
• 正割 $f(x) = \sec x$. 定义域 $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$, 值域 $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$
• 余割 $f(x) = \csc x$. 定义域 $x \neq k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$, 值域 $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$

$\frac{d}{dx} [\sin x] = \cos x$
$\frac{d}{dx} [\cos x] = -\sin x$
$\frac{d}{dx} [\tan x] = \sec^2 x$
$\frac{d}{dx} [\cot x] = -\csc^2 x$
$\frac{d}{dx} [\sec x] = \sec x \tan x$
$\frac{d}{dx} [\csc x] = -\csc x \cot x$

$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$
$\int \cos x \, dx = \sin x + C$
$\int \tan x \, dx = -\ln |\cos x| + C$
$\int \cot x \, dx = \ln |\sin x| + C$
$\int \sec x \, dx = \ln |\sec x + \tan x| + C$
$\int \csc x \, dx = -\ln |\csc x + \cot x| + C$

角度(θ)	弧度	sinθ	cosθ	tanθ
0°	$0$	$0$	$1$	$0$
30°	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
45°	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
60°	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
90°	$\frac{\pi}{2}$	$1$	$0$	无定义

反三角函数

• 反正弦 $f(x) = \arcsin x$
• 反余弦 $f(x) = \arccos x$
• 反正切 $f(x) = \arctan x$

$\frac{d}{dx} [\arcsin x] = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\frac{d}{dx} [\arccos x] = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\frac{d}{dx} [\arctan x] = \frac{1}{1+x^2}$
$\frac{d}{dx} [\text{arccot } x] = -\frac{1}{1+x^2}$
$\frac{d}{dx} [\text{arcsec } x] = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$
$\frac{d}{dx} [\text{arccsc } x] = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \arcsin x + C$
$\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan x + C$

常数函数

%% (在数学分析中包括, 在高等数学中不包括) %%